Częstotliwość średnia cut off

Muszę zaprojektować ruchome średnie filtru, które ma częstotliwość odcięcia 7 8 Hz Użyłem wcześniej przeciętnych filtrów, ale jak mi wiadomo, jedynym parametrem, który może być wprowadzony jest liczba punktów, które mają być uśredniony Jak to może odnosić się do częstotliwości odcięcia. Wymiana z 7 8 Hz jest 130 ms i ja pracuje z danych, które są próbkowane w 1000 Hz Czy to oznacza, że ​​powinienem używać średniej ruchomych rozmiar okna filtru z 130 próbek, czy jest coś innego, co mi brakuje. Tutaj 18 lipca 13 w 9 52.Ruchomy średni filtr jest filtr używany w dziedzinie czasu w celu usunięcia dodanego hałasu, a także dla wygładzania celu, ale jeśli używasz ten sam ruchomy filtr średniej częstotliwości w dziedzinie częstotliwości w celu rozdzielenia częstotliwości wtedy wydajność będzie najgorsza, więc w takim przypadku użyj filtrów częstotliwości domen user19373 Feb 3 16 at 5 53. Średniometr przesuwający się czasami znany potocznie jako filtr bokserski ma prostokątny impuls odpowiedzi. , stwierdził inaczej. Przypominając, że dyskretna - czas odpowiedzi system s jest równoważny dyskretnej transformaty Fouriera czas odpowiedzi impulsowej, możemy obliczyć go jak poniżej. What najbardziej interesuje nas w przypadku jest odpowiedź wielkości filtra, H omega Korzystanie z kilku prostych manipulacji , możemy to osiągnąć w łatwiejszej do zrozumienia formie. Nie wydaje się to łatwiejsze do zrozumienia Jednak, z powodu tożsamości Eulera to dlatego możemy napisać powyższe. Jak już wcześniej stwierdziłem, co naprawdę jest zaniepokojony wielkością odpowiedzi na częstotliwość Tak więc możemy wziąć pod uwagę wielkość powyższego, aby ją uprościć. Note Możemy zrezygnować z wyrażeń wykładniczych, ponieważ nie wpływają na wielkość wyniku e1 dla wszystkich wartości omega Ponieważ xy xy dla dowolnej liczby skończonych liczb zespolonych x i y możemy stwierdzić, że obecność wykładni nie wpływa na ogólną odpowiedź wielkości, wpływają one na odpowiedź fazy systemowej. Powstała funkcja wewnątrz wsporników wielkości jest formą jądra Dirichleta Czasami nazywa się ona okresową funkcją sinc, ponieważ przypomina funkcję sinc w pewnym sensie, ale jest okresową zmianą. W każdym razie, ponieważ definicja częstotliwości odcięcia jest nieco nieznaczona -3 dB punkt -6 dB pierwszy sidelobe null, możesz użyć powyższego równania do rozwiązania za cokolwiek potrzebujesz W szczególności, możesz to zrobić. Set H omega do wartości odpowiadającej odpowiedzi filtru, którą chcesz na częstotliwości cut. Oet omega równe częstotliwościom odcięcia Aby przypisać częstotliwość ciągłą do domeny dyskretnej, pamiętaj o tym, że omega 2 pi frac, gdzie fs to częstotliwość próbkowania. Znajdź wartość N, która daje najlepszą zgodę pomiędzy lewą i prawą stroną równania powinien być długością średniej ruchomej. Jeśli N jest długością średniej ruchomej, przybliżona częstotliwość odcięcia F ważna dla N2 w znormalizowanej częstotliwości ff jest równa. Ten wzór jest asymptotycznie cor prosta dla dużego N i ma około 2 błąd dla N2, a mniej niż 0 5 dla N 4.PS Po dwóch latach, w końcu wreszcie, jakie było podejście Podejście zostało oparte na przybliżeniu widma amplitudy MA wokół f0 jako parabola 2nd order Seria według. MA Omega około 1 frac - frac Omega 2. co można dokładniej zbliżyć w pobliżu zerowego przejścia MA Omega - frac przez pomnożenie Omega przez współczynnik. Uzyskanie MA Omega około 1 0 90 7523 frac - frac Omega 2. Rozwiązanie MA Omega - frac 0 daje wyniki powyżej, gdzie 2 pi F Omega. Wszystkie powyższe dotyczą częstotliwości odcięcia -3dB, przedmiotu tego posta. Chociaż interesujące jest uzyskanie profilu tłumienia w paśmie zatrzymania, który jest porównywalny z tym z pierwszego rzędu IIR Filtr dolnoprzepustowy jednobiegunowy LPF z określoną częstotliwością odcięcia -3 dB tak LPF nazywany jest również nieszczelnym integratorem, który ma biegun nie dokładnie w DC, ale blisko niego. W rzeczywistości zarówno MA, jak i I aby IIR LPF miało nasycenie w paśmie stopu -20 dBm w paśmie zatrzymania, to trzeba zobaczyć większy N niż ten stosowany na rysunku, N 32, aby to zobaczyć, ale mając na uwadze, że MA ma nowsze wartości widmowe w Fk N i 1 evelope, IIR filtr ma tylko profil 1. Jeśli ktoś chce uzyskać filtr MA z podobnymi zdolnościami filtrowania hałasu, jak ja Filtr IR i dopasowuje częstotliwość odcięcia 3dB jako taka, porównując obie widma, zdałby sobie sprawę, że pasmo zatrzymania pasma filtru MA upada 3 dB poniżej filtru IIR. W celu uzyskania tego samego stop-band ripple tj. takie samo tłumienie tłumienia hałasu jak filtr IIR można zmodyfikować w następujący sposób. Znalazłem ponownie skrypt Mathematica, w którym wyliczyłem odcięcie dla kilku filtrów, włączając w to MA jeden. Wynik był oparty na przybliżeniu widma MA około f 0 jako parabola zgodnie z MA Omega Sin Omega N 2 Sin Omega 2 Omega 2 pi F MA F ok. N 1 6 F 2 NN 3 pi 2 I przechodząc przejście z 1 sqrt stamtąd Massimo Jan 17 16 w 2 08. Pasmo przenoszenia częstotliwości dla średniego ruchu Filtr częstotliwości. Odpowiedź częstotliwościowa systemu LTI to DTFT odpowiedzi impulsów. Odpowiedź impulsowa średniej ruchomej próbki typu L polega na tym, że średnia średnica ruchoma wynosi FIR, a częstotliwość odpowiedzi zmniejsza się do skończonego suma. Możemy użyć bardzo użytecznej tożsamości napisz odpowiedź częstotliwościową jak. jutro mieliśmy aej N 0 i ML 1 Interesuje nas wielkość tej funkcji w celu określenia, które częstotliwości przechodzą przez filtr nieatłuszczony i które są atenuowane Poniżej znajduje się wykres wielkości Oś pozioma waha się od zera do radian na próbkę. Zazwyczaj, że we wszystkich trzech przypadkach częstotliwość odpowiedzi ma charakterystykę dolnopasmową Częstotliwość zerowa składowej stałej na wejściu przechodzi przez filtr bez atenuacji Niektóre wyższe częstotliwości, takie jak 2, są całkowicie wyeliminowane przez filtr Jeśli jednak zamiar był zaprojektować filtr dolnoprzepustowy, to nie zrobiliśmy bardzo dobrze Niektóre z wyższych częstotliwości są osłabione tylko przez współczynnik około 1 10 dla 16-punktowa średnia ruchoma lub 1 3 dla czteropunktowej średniej ruchomej Możemy zrobić znacznie lepsze niż to. Powyższy wykres został utworzony przez następujący kod Matlaba. omega 0 pi 400 pi H4 1 4 1-exp - i omega 4 1- exp mega H8 1 8 1-exp - i omega 8 1-exp - i omega H16 1 16 1-exp - i omega 16 1-exp - i omega wykres omega, abs H4 abs H8 abs H16 oś 0, pi, 0, 1.Copyright 2000- - Uniwersytet Kalifornijski, Berkeley. I używam drugiej odpowiedzi w moim algorytmie do obliczania 3dB odcięcia częstotliwości mojego filtru, co działa świetnie, ponieważ długość filtru jest zazwyczaj powyżej 300 zweryfikowałem ją z odpowiedzią krok . Chciałbym jednak mieć źródło lub pochodzenie dla tej formuły. Próbowałem ręcznie z serii taylorów zatrzymujących się po drugiej i trzeciej kadencji, przychodziłem blisko, ale nie dokładnie do wzoru i mapple daje mi ważny, ale ekstremalnie skomplikowany wynik. możesz pomóc. i nie potrzebujesz przybliżać żadnego sumy w tym z całką, ale musisz przybliżyć grzech 2 z ograniczoną liczbą terminów serii Maclaurin, czego potrzebujesz to dokładne rozwiązanie tego 2 sin 2 omega0 N 2 N 2 sin 2 omega0 2 i odpowiedź mam, jak najlepiej, jak mogę powiedzieć, najbliższe przybliżenie co najmniej założenia jony 13 13 w 5 46.Za pomocą zerofazowej średniej ruchomej długości N. Ele długości filtry działające na dyskretnych sekwencjach z indeksami czasu całkowitego nie mogą być zerowe faza Mamy obejść to przez włączenie wskaźników czasu wyjściowego zawsze mieć ułamkową część fraku, w przypadku N nawet jako przykład w świecie rzeczywistym, jeżeli dane wejściowe były pobierane co pół nocy, zero średniej średniej ruchomej równej długości zostanie obliczona na każde południe To niezwykłe indeksowanie w sposób wygodny daje ta sama faza zero fazy odpowiedzi częstotliwościowej FN omega zarówno dla N nieparzystych, jak i N. Niestety odpowiedź na częstotliwość nie ma symbolicznego rozwiązania dla -3 dB omegak częstotliwości odcięcia, tak że. Strutycznie mówiąc sqrt wynosi około -3,0 dB, ale ja myśl o tym, co ludzie mówią, gdy mówią -3 dB, ponieważ w przeciwnym razie jest to tylko dowolna liczba Przybliżona odpowiedź częstotliwościowa Czapka N omega używa całki zamiast sumy. Główne płaty prawdziwej sumy i przybliżonej częstotliwości całkowitej resp onses zbiegają się w dużych N. Możemy udowodnić zbieżność poprzez wprowadzenie funkcji GN chi FN omega i kapelusz N chi hat N omega z argumentem znormalizowanym tak, że omega frac, przynosząc pierwsze zero obu funkcji do chi 1. GN chi jest znany jako N-okresowy ograniczony pasmo impulsowe Ograniczenie na N i funkcja N chi są zarówno funkcją tekstową Niestety, częstotliwość odcięcia -3 dB nie ma symbolicznego rozwiązania w aproksymacji kapelusza N omega albo dla różnych N, przybliżenie tylko różni się od aproksymacji N 1 przez odwzorowanie omega rightarrow omega N, wystarczy więc rozwiązać algorytm odcięcia -3 dB omega N liczbowo dla N 1. uzyskując przybliżoną częstotliwość odcięcia dla dowolnego N. To wydaje się być inne, prostsze aproksymacja niż Massimo s Dla Twojego N 300 nie powinno być problemu z użyciem Massimo s, a to odpowiada stałych s. Podobne spojrzenie i stwierdziłem, że Massimo przybliża FN omega z kapeluszem M omega, choosin g M tak, że granice drugiego pochodu odpowiedzi częstotliwościowej i przybliżenia odpowiadają omega 0. To poprawia aproksymację w małej omega, która obejmuje punkt odcięcia -3dB, zwłaszcza przy małych przybliżeniach N. Massimo zawsze przecena częstotliwości odcięcia patrz porównanie błędów, pozostawiając to miejsce na lepsze, zmieniając stałą 1 Błąd jest największy dla N 2 Jeśli błąd jest ograniczony równy obecnie drugim największym błędom w N 3, otrzymujemy jeszcze lepsze, ale tak samo tanie taryfy. To i inne ulepszenia stały, jak stały Matt'a 0 863031932778066 praca zadziwiająco dobrze dla dużych N porównanie błędów W przypadku dużego N błąd przypada o współczynnik 1000 za każdy wzrost N o współczynnik 10 Wyjaśnienie tych rzeczy jest to, że prawda częstotliwość odcięcia w funkcji N ma szereg Laurent. i przybliżenie i jego serie Laurent są takie, że a1 a 2 x 78311475650302030063992 a3 approx - frac. Jeśli przybliżony m atch w N-tera został dokładny, błąd przybliżenia powinien się zmniejszyć o współczynnik 10 5 dla wzrostu dużego N o współczynnik 10 Współczynniki ak serii Laurent fx sum frac funkcji fx jako x rightarrow infty można znaleźć iteracyjnie przez. Gdy nie mamy fx w formie symbolicznej, ale można ją rozwiązać liczbowo do dowolnej precyzji dla bardzo dużej liczby x, możemy wykonać odpowiednik powyższej procedury liczbowo Następujący skrypt Pythona, który używa SymPy i mpmath obliczy dany numer tutaj 10 pierwszych współczynników ak w pożądanej dokładności dla serii Laurenta prawdziwej częstotliwości cutoff. Na moim komputerze program działa przez około 7 minut To drukuje następujące, pokazując, że seria Laurent składa się tylko z nieparzystych negatywnych uprawnień . Te liczby, pokazane do 24 miejsc po przecinku, nie są z przybliżenia w tym sensie, że seria Laurent jest unikatowa, nie ma innej serii Laurent, która równa się omegakowi N. Wykorzystując tylko a1 i a3, prosta dwuletnia ścięta Szacowanie przybliżenia serii Laurent może być skonstruowane. I c - frac aproksymacji. Błąd 1 N 5 rozkładu dużych rozmiarów N, patrz kolumny porównania błędów h i i odpowiednio A dłuższe obcięte serie Laurent z większą liczbą terminów z wyjściowego skryptu spada nawet szybciej , 1 N dla 5-terminowego przybliżenia w kolumnie j w strzałce comparison. up błąd od mnie, Olli. but z jakiegoś powodu, myślę, że odpowiedź jest znacznie prostsza normalnie lubię zaprojektować acausal symetryczne filtry FIR, ponieważ są one zero faza, ale zazwyczaj ograniczam się do nieparzystej liczby zerowych zerowych, aby to zrobić bardziej ogólnie, i może trzymać się przyczyny FIR przeciętnej average. let s powiedzieć, liczba kranów jest N. applying mathcal - transform i geometryczne sumy formula. substituting z leftarrow e, aby uzyskać DTFT. przyzwalamy nazywamy rzecz, która mnoży Xz z funkcją transferu. i rzecz, która mnoży Xe, częstotliwość response. the e współczynnik oznacza fazę liniową, stałe opóźnienie frac próbek to nie zmienia zysku współczynnik frac jest współczynnikiem wzmocnienia -3 dB częstotliwość, omegac, normalnie mamy na myśli -3 0103 dB częstotliwości, ponieważ odpowiada pół częstotliwości mocy jest taka, że. 2 sin 2 omegac N 2 N 2 sin 2 omegac 2.zależnie od liczby kranów N, musisz rozwiązać omegak, który może nie być tak łatwy do zrobienia w zamkniętej formie, ale możesz wykopać kalkulator i wtyczkę chug, aż pojawi się odpowiedź, która ma wystarczającą precyzję lub można uzyskać MATLAB to zrobić. przy przyzwoity aproksymacji dla omegac może mieć dla dużych N przy użyciu tożsamości potrójny i powszechnie używam, gdy im fiddling transformacji dwójkowej i pierwsze trzy pojęcia dla serii Maclaurin dla cos. if możesz włączyć to przybliżenie dla grzechu 2 w poprzednim równaniu i rozwiązać pomijanie kroków lotta, ponieważ jestem zbyt leniwy, aby LaTeX to out. Olli, jak to dobrze, że porównać do results. doing tego jeden lepszy z innym terminem dla przybliżenia grzechu 2, jest wykonalny, wymaga jedynie kwadratowego rozwiązania dla omega02, przy czym przybliżenie powinno zachowywać pierwsze cztery warunki ekspansji cos. wierz, że aproksymacja i rozwiązanie dla omegaka 2. najbardziej spójny odpowiedź i get is. with opcji wygląda like. and z opcją - wygląda jak. co jest znacznie bliżej aproksymacji pierwszego rzędu zrobiłem powyżej, więc zgaduję, że zabiorę - option. so, chociaż nie mogę powiedzieć analitycznie, dlaczego opcja powinna zostać odrzucona, i zgadnij moją najdokładniejszą odpowiedź be. which ma limit, dla dużych N, pokazany powyżej. does nikomu inny ma lepszy sposób spojrzeć na dobry przybliżony zamknięty formularz do tego this. last tweek na to przed przejściem na emeryturę approximation grzech 2 theta approx theta 2 left 1 - frac theta 2 frac theta 4 tak naprawdę powinno być dobre dla wszystkich 0 le theta le frac, aby tak się stało i aby zachowanie było nadal dobre w tt 1, powinniśmy przepuścić ostatni współczynnik, frac, aby być zbliżony, tak że przybliżenie jest dobre dla grzechu 2 left frac right doesn t zwiększa złożoność, ale może sprawić, że lepsza odpowiedź. frac jest w rzeczywistości zespołem ograniczonym pociąg impulsowy, więc przybliżenie go funkcją tekstową tak jak w mojej odpowiedzi brzmi exa ct do precyzji 2 78311475650302030063992 w granicach dużych N, gdzie omega0 frac daje około 88 razy prawdziwe odcięcie i omega0 sqrt prawo daje około 1 035 razy prawdziwy cutoff Myślę, że jeśli chcesz dokonać lepszej aproksymacji powinien zawierać tę długą stałą Olli Niemitalo 13 stycznia 16 na 8 46.Robert, musisz użyć znaku - w swoim kwadratowym wzorze równości, ponieważ daje to rozwiązanie, w którym seria Taylor nadal jest zbliżona do pierwotnej funkcji Drugim rozwiązaniem jest tylko ważne dla wielomianu Taylor, ale w ogóle nie dla pierwotnej funkcji, ponieważ dla tej większej wartości, wielomian Taylor nie robi się nawet zbliżać do oryginalnej funkcji. Więc dla rozwinięcia Taylor wokół x0 0, zazwyczaj musisz wybrać najmniejsze rozwiązanie w ponieważ jest to ten, w którym przybliżenie działa najlepiej Matt L Jan 16 16 w 14 23.Let s porównuje faktyczne błędy numeryczne dla różnych aproksymacji odcięcia freque ncy Błąd podany w tabeli jest obliczany przez odjęcie od omówienia prawdziwej algorytmu odejmowania -3 dB od przybliżenia. Notes Przybliżenie e nie zezwala na N 2 Niektóre błędy są wymienione jako 0, ale oznacza to, że ich wielkość jest mniej niż około 1E-17 To i inne możliwe niedokładności wynikają z użycia arytmetyki zmiennoprzecinkowej o podwójnej precyzji w obliczaniu aproksymacji i błędu. Uważaj na wolną edycję dodać kolejne przybliżenie. OK, jest to zabawne, że będę dodawać własne myśli i aproksymacji, z których pierwsza okazuje się identyczna z tą podaną przez Massimo w tej odpowiedzi i tę, którą wywodzi się z Olli w tym wątku, to nadal ją tutaj przytacza, ponieważ jego pochodna jest inna Następnie pokażę lepsze przybliżenie, ma maksymalny błąd względny 0 002 dla N2, w którym to przypadku mamy oczywiście rozwiązanie analityczne z dokładną częstotliwością odcięcia omegac pi 2, i dla której błąd względny jest mniejszy niż 1 2 cdot 10 dla N ge 10. To jest dobrze znany i został pokazany przez Olli i Roberta w ich odpowiedziach, że wartość amplitudy wartości amplitudy ruchomych średnicy ruchomości N jest podana przez. Zgodność z omegakiem o częstotliwości 3 dB jest omegak. O ile wiem, nie ma racjonalnie prostego rozwiązania analitycznego dla równania 2 Kluczem do przedstawionych tu aproksymacji jest - a co zaskakujące - przybliżenie Tayloru Różnica między serią Taylor używaną w odpowiedzi Roberta polega na tym, że nie odrębnie przybliżam funkcji sinusowych ani ich kwadratowych wartości, jak w Robert s odpowiada, ale bezpośrednio przybliżam pełną funkcję amplitudy podaną w 1 Przybliżającym grzechu N omega 2 lub jego kwadratowa wartość spowoduje większe błędy niż przy pełnej funkcji, ponieważ argument N omega 2 nigdy nie zbliża się do zera, nawet dla dużych wartości N Zbliżanie tylko mianownika sinega 2 lub jego kwadratowa wartość jest OK, ponieważ jej argument omega omegac zbliża się zero dla dużego N W każdym razie będę używać dwóch z dwóch przybliżonych ale będę używać serii Taylora HN omega Dla prostszego zapisu będę używać x omega 2 i fn x HN omega Seria Taylor FN x około x0 0 jest podana przez. Nieśli duże wartości N, to przybliżenie jest uzasadnione, ponieważ częstotliwość odcięcia omegac ma tendencję do małych wartości. Aby pierwsza aproksymacja używam tylko pierwszych dwóch terminów w rozdziale 3. Rozwiązanie 4 daje pierwsze przybliżone rozwiązanie. Problem z tym rozwiązaniem polega na tym, że jest on stronniczy, co oznacza, że ​​jego błąd nie t zbieżne zerem dla dużych N Niemniej jednak okazuje się, że dzięki prostemu skalowaniu 5 można wyeliminować tę tendencję do zera Aby zerowe nastawienie wymagało. gdzie użyłem notacji omega N, aby podkreślić jej zależność od N Rozwiązanie 6 z ogólnym wyrażeniem. lead nas do równania. Musimy rozwiązać numerycznie sławne rozwiązanie. Przybliżenie 7 z danym przez 9 jest identyczne z formułą Massimo, którą musisz podzielić przez 2 pi, aby uzyskać jego stałą magiczną, a to tak samo jak ten, który został wyprowadzony przez Olli w inny sposób w tym wątku Widzimy, że przybliżenie Taylora dało nam prawidłową formę równania, ale stała musiała być określona przez proces limitów, aby otrzymać wzór z zerem stronniczą Dla większości praktycznych celów ta formuła jest wystarczająco dokładna z maksymalny błąd względny 6 9 cdot 10 dla N ge 10 Korzystanie ze wszystkich terminów w aproksymacji 3 daje nam jeszcze lepsze przybliżenie Proces jest dokładnie taki sam, jak przed ustawieniem przybliżenia Taylora FN x równym 1 sqrt i rozwiązaniu dla xc istnieją tylko potęgi x, więc musimy tylko rozwiązać równanie kwadratowe To daje nam następujący wzór. Zauważ, że z czterech rozwiązań równania kwarcowego musimy wybrać mniejsze z dwóch pozytywnych, ponieważ to wartość, w której seria Taylor jest ściśle zbliżona do FN x Inne pozytywne rozwiązanie jest artefaktem w zakresie, w którym seria Taylor różni się od FN x przybliżenie 10 ma ten sam mały problem, co pierwsza wersja poprzedniego oksymowanie podane przez 5 w tym, że ma małe nastawienie Ta tendencja może być usunięta w dokładnie taki sam sposób jak poprzednio, biorąc pod uwagę granicę 6, tym razem z omega N Moje końcowe przybliżenie na podstawie 10, ale z zerową stronniczością podaje się przez. gdzie b można również uzyskać przez rozwiązanie równania podobnego do 8 Można go faktycznie zapisać w kategoriach podanej przez 9. b frac sqrt -1 0 997314251642175 znacznik I obliczono dokładne wartości omegak liczbowo dla N w zakresie 2.100, więc mogłem obliczyć błąd względny, co pozwala na porównanie różnych aproksymacji omega omówię tylko przybliżenia z zero bias omega podane przez 7 z danym przez 9, a omega podane przez 11 i 10, a b podane przez 12 Poniższy rysunek przedstawia Błędy względne zdefiniowane przez 13 w funkcji N Czerwona krzywa jest względnym błędem przybliżenia 7, a zielona krzywa jest błędem aproksymacji 11 Oba zbliżenia mają zerowe nastawienie, które zbiegają się z dokładnymi wartościami dla dużego N, ale zieleń krzywa się zbieży gwałtownie szybciej. Przedstawione powyżej formuły zera-zera są przyzwoitymi przybliżeniami do rzeczywistych częstotliwości odcięcia, ale im lepsze jest 10,11,12, to jest bardzo niezręczny. Olli miał wielką ideę, aby dostosować stałą mianowników w prostą formułę 7 As jak długo używamy optymalnej wartości danego przez 9, możemy zmienić stałą mianownika bez utraty własności zera-stronniczości Więc otrzymujemy nową formułę. z stałym c do zoptymalizowania Jeśli dobrze zrozumiem, Olli oparł swoją optymalizację c na wartość błędów dla N 2 Myślę jednak, że wartość N 2 nie jest bardzo istotna, ponieważ dla N 2 omegak można obliczyć analitycznie omegac 2 pi 2 Więc nie musimy koniecznie zoptymalizować formuły 14 w przypadku N 2 jeśli przychodzi kosztem aproksymacji przy większych wartościach NI zoptymalizowanych stała c w 14 w następujący sposób Jeśli omegak N jest dokładną częstotliwością odcięcia dla danego zestawu długości filtra N, mamy zbyt określony układ równań gdzie możemy wybrać dowolny re asonable zestaw wartości dla N Rearranging 15 daje kolejny zestaw równań, tym razem liniowo w nieznanym c. Optymalnym rozwiązaniem najmniejszych kwadratów równym 16 jest. gdzie L jest liczbą różnych wartości dla N używanych w sumie Jeśli używasz wszystkich liczb całkowitych wartości N w zakresie 2,100, które otrzymujesz. jest blisko wartości Olli, ale daje to jeszcze lepsze przybliżenie dla wszystkich N ge 3 Dodałem wartości błędów do tej kolumny tabeli f. W odpowiedzi Robert zastanawiał się dlaczego musi wyrzucić drugie większe większe rozwiązanie dla omegaka przy użyciu czwartego rzędu serii Taylor dla grzechu 2 x Poniższa ilustracja przedstawia przyczynę Oryginalna funkcja amplitudy kwadratowej jest wyświetlana na niebiesko dla N 10 Linia 3dB jest na czerwono Zielona funkcja to Taylor aproksymacja, która przekracza linię czerwoną dwukrotnie Są to dwa pozytywne rozwiązania omegaka Ponieważ funkcja jest równa, otrzymujemy te same dwa rozwiązania ze znakami ujemnymi, co sprawia, że ​​cztery, podobnie jak w przypadku wielomianu czwartego rzędu. jest o że większy z dwóch pozytywnych rozwiązań jest artefaktem z powodu rozbieżności przybliżenia Taylor dla większych argumentów Jest to więc tylko mniejsze rozwiązanie, które ma sens, druga nie daje innej odpowiedzi, ponieważ takie podejście jest zupełnie inne w że nie próbuję przybliżać funkcji amplitudy filtra s, aby obliczyć przybliżenie częstotliwości odcięcia, ale używam podejścia opartego na czystych danych, biorąc pod uwagę dokładne częstotliwości odcięcia, które zostały obliczone numerycznie, a które również są podane zbiór długości filtra w lewej kolumnie w tej tabeli. Z pasowaniem danych, często najtrudniejszym problemem jest znalezienie odpowiedniej parametryzacji funkcji aproksymującej Ponieważ od innych odpowiedzi w tym wątku wiemy, że. z odpowiednio wybranymi stałymi a i c jest zaskakująco dobrym przybliżeniem dla szerokiego zakresu wartości N, a od Wolframa Alpha mówi nam, że rozszerzenie serii Laurent 1 na N infty ma tylko terminy o nieparzystych mocach 1 N, wydaje się rozsądne parametryzowanie częstotliwości odcięcia za pomocą serii Laurent z nieparzystymi mocami równymi 1 N. Możemy obliczyć dokładną wartość a1 w 2 z wymogu, aby szacunkowy czapka c N zero zbieżności, tzn. że zbieżne z prawdziwą częstotliwością odcięcia dla dużego N wyjaśniono to w mojej innej odpowiedzi Jego wartość jest równa. Inne stałe w 2 można obliczyć przez dopasowanie do kwadratu co najmniej dwóch danych, które są dokładne czasy odcięcia Dopasowanie najmniejszych kwadratów można obliczyć za pomocą następującego prostego skryptu Matlab Octave, zakładając, że zmienna wc jest wektorem z wstępnie obliczonymi częstotliwościami odcięcia dla pożądanego zestawu długości filtra. Uzyskane współczynniki są. Uruchom a3 1 201714809636180 a5 0 768735238011194 a7 0 514237034990353 a9 0 548681885931852 koniec z a1 podanym przez 3 To zbliżenie jest bardzo zbliżone do dokładnych wartości omegaka Błąd przybliżenia znajduje się w tej kolumnie tabeli g.